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方差介紹

方差是各個數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù),用字母D表示。在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中,方差(Variance)用來度量隨機變量和其數(shù)學期望(即均值)之間的偏離程度。在許多實際問題中,研究隨機變量和均值之間的偏離程度有著重要意義。

方差公式

方差是實際值與期望值之差平方的平均值,而標準差是方差算術平方根。[1]  在實際計算中,我們用以下公式計算方差。

方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù),即 ,其中,x表示樣本的平均數(shù),n表示樣本的數(shù)量,xi表示個體,而s^2就表示方差。

而當用 作為樣本X的方差的估計時,發(fā)現(xiàn)其數(shù)學期望并不是X的方差,而是X方差的倍, 的數(shù)學期望才是X的方差,用它作為X的方差的估計具有“無偏性”,所以我們總是用 來估計X的方差,并且把它叫做“樣本方差”。

方差,通俗點講,就是和中心偏離的程度!用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┎阉凶鲞@組數(shù)據(jù)的方差。記作S2。 在樣本容量相同的情況下,方差越大,說明數(shù)據(jù)的波動越大,越不穩(wěn)定。

公式可以進一步推到為:其中x為這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù),n為大于0的整數(shù)。

舉例

如下面的例子:

已知某零件的真實長度為a,現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次,將測量結果X用坐標上的點表示如圖:

甲儀器測量結果:

乙儀器測量結果:全是a

兩臺儀器的測量結果的均值都是 a 。但是用上述結果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣,很明顯,我們會認為乙儀器的性能更好,因為乙儀器的測量結果集中在均值附近。

由此可見,研究隨機變量與其均值的偏離程度是十分必要的。那么,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量隨機變量與其均值E(X)的偏離程度。但由于上式帶有絕對值,運算不方便,通常用量E[(X-E[X])2] 這一數(shù)字特征就是方差。

一般用下面公式進行計算:

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

方差不只是為了取正值,它有很直接的意義,源自勾股定理。以典型的隨機散步為例:醉漢每步的長度為Xi,以(xi, yi)表示,有xi2 + yi2= Xi2。走了N步時距離起始點的路程為X, 則 X2 = ∑ (xi2+ yi2) = ∑ Xi2,這正是方差。若每步的距離相等,都是單位距離,則方差 X2 = ∑ Xi2 = N 。

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第 1 樓 貴州安順客人 發(fā)表于: 2016/10/07 13:57:19
hao 應該很好用

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